zzoce 🧊
快速幂

快速幂

Thu Oct 03 2024
zzcoe
5 分钟
数据结构与算法 数学 二进制倍增
645 字

其基本思想都是采用二进制优化

数的快速幂#

求b的q次幂，与[[龟速乘]]有异曲同工之妙

CPP
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#include <iostream>
#include <cmath>
#define ll long long 
using namespace std;
int main ()
{
	ll b,p,k;
	cin>>b>>p>>k;
	ll ans=1,cnt=b;
	while (p>0){
		if (p&1){
			ans=(ans*cnt)%k;
		}
		cnt=(cnt*cnt)%k;
		p=p>>1;
	}
	cout<<ans<<endl;
	
}

矩阵快速幂#

矩阵快速幂是一种高效计算矩阵乘法幂的算法，常用于解决线性递推问题，如斐波那契数列的快速计算等。这里我将提供一个简单的矩阵快速幂的实现，用于计算矩阵的幂。

假设我们要计算的矩阵是 N×N的，我们需要以下几个步骤：

  1. 矩阵乘法：实现两个矩阵相乘的函数。
  2. 快速幂算法：利用矩阵乘法和快速幂算法计算矩阵的幂。

为了简化，我们将使用 std::vector<std::vector<int>> 作为矩阵的数据结构。这里是一个简单的实现：

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#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

typedef vector<vector<int>> Matrix;

// 矩阵乘法
Matrix multiplyMatrix(const Matrix& a, const Matrix& b) {
    int n = a.size();
    Matrix result(n, vector<int>(n, 0));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                result[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
            }
        }
    }
    return result;
}

// 矩阵快速幂
Matrix quickPow(Matrix a, int power) {
    int n = a.size();
    Matrix result(n, vector<int>(n, 0));
    // 初始化结果矩阵为单位矩阵
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        result[i][i] = 1;
    }
    while (power > 0) {
        if (power & 1) {
            result = multiplyMatrix(result, a);
        }
        a = multiplyMatrix(a, a);
        power >>= 1;
    }
    return result;
}

int main() {
    // 示例：计算2x2矩阵{{1, 1}, {1, 0}}的5次幂
    Matrix mat = {{1, 1}, {1, 0}};
    int power = 5;

    Matrix result = quickPow(mat, power);

    // 输出结果
    for (const auto& row : result) {
        for (int val : row) {
            cout << val << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

这个实现中，我们首先定义了一个 Matrix 类型，这是一个二维 int 向量。multiplyMatrix 函数用于计算两个矩阵的乘积，而 quickPow 函数则实现了矩阵的快速幂算法。最后，在 main 函数中，我们计算了一个 2×22 \times 2 矩阵的 5 次幂，并打印了结果。

请注意，这个实现没有进行任何优化，比如对大数的处理（可能需要模运算来避免溢出）或者提高矩阵乘法的效率。此外，这个实现假设了矩阵是方阵，即行数和列数相等。对于不同大小的矩阵，矩阵乘法函数需要相应地调整。