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康托展开

康托展开

Thu Oct 03 2024
zzcoe
5 分钟
数据结构与算法 数学
941 字

原理#

康托展开是一种用于将一个排列映射到一个唯一的整数的技术。它由德国数学家乔治·康托（Georg Cantor）在19世纪提出。康托展开常用于计算机科学和组合数学中，特别是在排列组合问题和数据压缩中。

康托展开的基本思想是将一个排列映射到一个唯一的整数，从而实现排列的编码和解码。具体来说，对于一个由1到n的数字组成的排列，康托展开可以将这个排列映射为一个唯一的整数。这个整数可以用来表示这个排列在所有可能排列中的顺序位置。

康托展开的计算公式如下：

设有一个由1到n的数字组成的排列a，康托展开可以通过以下公式计算得到：

C(a)=∑i=1n−1(在a中位于第i位之后且比第i位小的数字个数×(n−i)!)C(a) = \sum_{i=1}^{n-1} \left( \text{{在a中位于第i位之后且比第i位小的数字个数}} \times (n-i)! \right)

通过康托展开，可以将排列转换为一个唯一的整数，也可以根据给定的整数还原出原始的排列。这在排列的存储、比较和计算中都有广泛的应用。

逆康托展开#

逆康托展开是康托展开的逆操作，用于将一个整数映射回原始的排列。在康托展开中，我们将一个排列映射为一个整数，而逆康托展开则将这个整数还原为原始的排列。

逆康托展开的基本思想是根据给定的整数和排列长度，逐步确定原始排列中每个位置上的数字。具体步骤如下：

  1. 初始化一个包含1到n的数字的集合（n为排列长度）。
  2. 对于每一个位置i，首先计算整数k除以(i-1)的阶乘的商，得到商作为当前位置上的数字在集合中的索引。
  3. 然后更新整数k为k除以(i-1)的阶乘的余数，继续下一位的计算。
  4. 将确定的数字从集合中移除，确保每个数字只被选取一次。
  5. 重复以上步骤直到确定所有位置上的数字。

通过逆康托展开，可以将一个整数还原为原始的排列，从而实现排列的解码。逆康托展开在排列的解析和恢复中具有重要的作用。

代码#

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 计算阶乘
int factorial(int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    return n * factorial(n - 1);
}

// 康托展开
int cantorExpansion(vector<int> permutation) {
    int n = permutation.size();
    int result = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int smaller = 0;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (permutation[j] < permutation[i]) {
                smaller++;
            }
        }
        result += smaller * factorial(n - i - 1);
    }
    return result;
}

// 逆康托展开
//就是给一个整数k，找到在n个元素的全排列中第k种情况的排列顺序
vector<int> inverseCantorExpansion(int n, int k) {
    vector<int> permutation;
    vector<int> nums;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        nums.push_back(i);
    }

    for (int i = n; i > 0; i--) {
        int index = k / factorial(i - 1);
        k = k % factorial(i - 1);
        permutation.push_back(nums[index]);
        nums.erase(nums.begin() + index);
    }

    return permutation;
}

int main() {
    // 康托展开示例
    vector<int> permutation = {3, 1, 4, 5, 2};
    int cantor = cantorExpansion(permutation);
    cout << "Cantor Expansion of {3, 1, 4, 5, 2}: " << cantor << endl;

    // 逆康托展开示例
    int k = 18; // 康托展开的结果
    int n = permutation.size();
    vector<int> result = inverseCantorExpansion(n, k);
    cout << "Inverse Cantor Expansion of " << k << ": ";
    for (int num : result) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

例题一#

1.排列距离 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)